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作正五邊形

November 7, 2017, 6:49 pm

中二課本仍有教授（在定圓上）構作正五邊形的方法，見下

網友問原理為何？

答：參考上圖，設圓半徑為，則 OM=r ，由畢氏知 $CM=\sqrt{5}r$ ，即 $NM=\sqrt{5}r$ ，於是 $NO=(\sqrt{5}-1)r$ ；再由畢氏知 $CN=\sqrt{NO^2+OC^2}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}r$

那麼，圓內接正五邊形邊長為何？設圓半徑同樣是，正五邊形其中一條邊為，見下圖。

則圓心角為 $\frac{360^o}{5}=72^o$ ，不難得出 $CP=2CQ=4r\sin 36^o$

最後，我們就要證明

$4\sin 36^o = \sqrt{10-2\sqrt{5}}$

這不過是以前附加數學常見題目，現在給 M2 同學做做：

(a) 證明 $\sin(5t)=16\sin^5t-20\sin^3t+5\sin t$
(b) 證明 $\sin 36^o$ 是 16x^4-20x^2+5=0 的其中一個根（root）。
（提示：by (a), put t=36^o ）
(c) 證明 $4\sin 36^o = \sqrt{10-2\sqrt{5}}$

這就解釋了構作這類正五邊形方法之原理。

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