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實數問題複數解決

June 23, 2017, 12:43 am

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幾個月前的中學數學科諮詢文件見 M1，M2 外的 Further Mathematics 內容，重遇會考附加數學一些內容：

運用當中一個特性 $z\overline{z}=|z|^2$ ，輕易得出下式：

(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

式子在說：平方和的積，仍是平方和。

現在的中學生，大部分不會知道甚麼是 $\overline{z}$ ，甚麼是 |z| ，從而看不到證明的美麗。不過，我們仍可勉強看出一個道理：實數的問題，可以透過複數幫忙解決，實則虛之，見下：

我們慬因式分解

a^2-b^2

答案是 (a+b)(a-b)

如果允許複數，我們也可因式分解

a^2+b^2

如下

a^2+b^2

=a^2-i^2b^2

=a^2-(bi)^2

=(a+bi)(a-bi)

於是

(a^2+b^2)(c^2+d^2)

=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)

=(a+bi)(c+di)(a-bi)(c-di)

=((ac-bd)+(ad+bc)i)((ac-bd)-(ad+bc)i)

=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2

又或者

(a^2+b^2)(c^2+d^2)

=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)

=(a+bi)(c-di)(a-bi)(c+di)

=((ac+bd)-(ad-bc)i)((ac+bd)+(ad-bc)i)

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

隨便代入一些整數 a,b,c,d ，比如

a=3,b=4,c=5,d=6 ，由上兩式得

$(3\times 5-4\times 6)^2+(3\times 6+4\times 5)^2=(3\times 5+4\times 6)^2+(3\times 6-4\times 5)^2$

9^2+38^2=39^2+2^2

諸如此類之結果～

上述式子不過是 Brahmagupta’s identity 在 n=1 時的情況，見

https://en.wikipedia.org/wiki/Brahmagupta%27s_identity

同學試試證明之。

利用矩陣，得到更多，見舊文：
http://www.hkedcity.net/ihouse_tools/forum/read.phtml?forum_id=27877&current_page=&i=894949&t=894949

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