某求導題

早前中四測驗某題：

If $\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)$ , find $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ at (1,-1) .

建議答案如下:兩邊取平方

$\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}(x^3+y^3)=\frac{d}{dx}36(xy+1)^2$

從而得

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{24xy^2+24y-x^2}{y^2-24x^2y-24x}$

所以，

$\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1$

但有學生給出以下解：

$\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{d}{dx}\sqrt{x^3+y^3}=\frac{d}{dx}6(xy+1)$

$\displaystyle \Rightarrow \frac{1}{2\sqrt{x^3+y^3}}(3x^2+3y^2\frac{dy}{dx})=6(x\frac{dy}{dx}+y)$ ……………….. (*)

$\displaystyle \Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{6y-\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}}{\frac{3y^2}{2\sqrt{x^3+y^3}}-6x}$

出現 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^3+y^3}}$ 這項，代入 (1,-1) 時無定義（undefined），即

$\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}$ 無定義嗎？

事實上，當 (x,y)=(1,-1) ，(*) 應已不能出現。

現把 $\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)$ 的圖像畫出，看看究竟如何：

奇怪？好像有垂直漸近線？把圖放大：

再放大：

原來並非垂直漸近線，且在 (1,-1) 處似乎只有左導數（left hand derivative），目測其值為 -1，而右邊「無線」，故右導數必不存在；在這意義下，在 (1,-1) 處， $\frac{dy}{dx}$ 不存在。（已不乎隱函數定理的條件連續可微了）但軟件只是輔助，真相如何？

粗糙地分析一下，式子

$\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)$

左邊的開方根，代表左邊必然非負，故右邊也非負，即

$xy+1 \ge 0 \Rightarrow xy \ge -1$

另外，開方根內的 x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2) 也要非負，即

$x+y \ge 0$ 　　（why?）

於是曲線只能存在於以下綠色範圍：

（Fig. A）

如果把式子兩邊取平方，得

$\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2$

已非原來式子，因為它包含了以下額外添加的關係：

$\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=-6(xy+1)$

（所以用取平方的方法要小心，有時須覆檢答案。）

現把 $\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2$ 的圖像畫出，見下

可見它補充了 (1,-1) 右邊條曲線，故在 (1,-1) 之處連續，且可計出 $\displaystyle \frac{dy}{dx}|_{(1,-1)}=-1$

現在也把圖像 xy=-1 和 x+y=0 一併畫出：

可見曲線有些部份（即 $\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=-6(xy+1)$ 者）跌入「禁區」（即（Fig. A）的非綠色部份），故原題目的曲線（即 $\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)$ 者）只能在下圖所示的範圍內。

當然，有了上面圖像，一目了然；但如沒有圖的幫忙，我只能說下面粗糙的論述：

因 $\displaystyle x^3+y^3=36(xy+1)^2$ 在 (1,-1) 處正常地找到 $\frac{dy}{dx}=-1$ ，是負數，即在那個包含 (1,-1) 的局部範圍內，函數是嚴格下降的；故當值由 1 輕微增加，值便由 -1 輕微下降；但 (1,-1) 已在「臨界邊」 xy=-1 上，如此，值大於 1，值小於 -1，便會跌入「禁區」，不容許。所以曲線在 (1,-1) 處不連續。也就是說 $\displaystyle \sqrt{x^3+y^3}=6(xy+1)$ 的 $\frac{dy}{dx}$ 在 (1,-1) 處無定義；所以原題的建議答案是錯的，以後出題我也要小心。