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重積求面積

August 12, 2017, 3:10 am

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1.某中四題：

求直線 x+y=1 , x+y=5 , x-2y=-2 及 x-2y=4 圍出來的平行四邊形之面積。

可用重積分處理如下

設為該平行四邊形區域，則面積是

$\displaystyle \int \int_D dxdy$

設

x+y=u
x-2y=v

得

$x=\frac{2u+v}{3}$
$y=\frac{u-v}{3}$

故，雅可比行列式（Jacobian determinant）是

$x_uy_v-x_vy_u = \frac{2}{3}\frac{-1}{3}-\frac{1}{3}\frac{1}{3}=-\frac{1}{3}$

故面積為

$\displaystyle \int \int_D dxdy$

$=\displaystyle \int \int_{D'} |J|dudv$

$=\displaystyle \int_{v=-2}^{v=4} \int_{u=1}^{u=5} \frac{1}{3}dudv$

$=\frac{1}{3}(4)(6)$

中四同學可以驗算一下。

2.某 M2 題

求曲線 y=2x^2 , $y=\frac{x^2}{2}$ , x=4y^2 及 $x=\frac{y^2}{3}$ 圍出的區域（下圖橙色者）之面積。

設為該區域，則面積是

$\displaystyle \int \int_D dxdy$

設

y=ux^2
x=vy^2

得

$x=u^{-\frac{2}{3}}v^{-\frac{1}{3}}$
$y=u^{-\frac{1}{3}}v^{-\frac{2}{3}}$

故，是

x_uy_v-x_vy_u
$= (-\frac{2}{3}u^{-\frac{5}{3}}v^{-\frac{1}{3}})(-\frac{2}{3}u^{-\frac{1}{3}}v^{-\frac{5}{3}})-(-\frac{1}{3}u^{-\frac{2}{3}}v^{-\frac{4}{3}})(-\frac{1}{3}u^{-\frac{4}{3}}v^{-\frac{2}{3}})$
$= \frac{1}{3}u^{-2}v^{-2}$

故面積為

$\displaystyle \int \int_D dxdy$

$=\displaystyle \int \int_{D'} |J|dudv$

$=\displaystyle \int_{v=\frac{1}{3}}^{v=4} \int_{u=\frac{1}{2}}^{u=2} \frac{1}{3}u^{-2}v^{-2}dudv$

$=\frac{1}{3}\displaystyle \int_{v=\frac{1}{3}}^{v=4}v^{-2}(-u^{-1})_{\frac{1}{2}}^2dv$

$=\frac{1}{2}(-v^{-1})^4_{\frac{1}{3}}$

$=\frac{11}{8}$

M2 同學可以驗算一下。

後記：此例有

x=f(u,v)
y=g(u,v)

求較直接；但一般地，若有

f(x,y,u,v)=0
g(x,y,u,v)=0

求不易。

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