as gs

同事擬 core mathematics 某統測題如下：

Derive the formula for the sum of first terms of the following sequence in terms of a,b,d,r,n , where $r \ne 1$ .

$ab,(a+d)br,(a+2d)br^2,(a+3d)br^3,\dots$

我班沒人得出答案。沒所謂，全卷 67 分，這必答題佔 6 分而已。

上述數列稱為 arithmetico-geometric sequence，我以前教 applied math 時就隨便稱它為 AGS。

在 applied math 的課程，推導上式是基本技巧，回應著以下基本問題：

比如，盒子內有 1 個黑球 2 個白球，隨機抽出 1 球，若黑球被抽出，停止抽球；若白球被抽出，把它放回盒子，重新隨機抽出 1 球，服從相同原則，若黑球被抽出，停止抽球；若白球被抽出，把它放回盒子，重新隨機抽出 1 球，如此類推。問抽球次數的期望值（expected number of drawings）是多少？

M1 同學立即得出 $\frac{1}{1/3}=3$

推論如下：

P(1 次) = $\frac{1}{3}$
P(2 次) = $\frac{2}{3}\frac{1}{3}$
P(3 次) = $\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{1}{3}=(\frac{2}{3})^2\frac{1}{3}$
P(4 次) = $\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{1}{3}=(\frac{2}{3})^3\frac{1}{3}$
….

所以期望次數是

$E=1\times \frac{1}{3}+2\times (\frac{2}{3})\frac{1}{3} + 3\times (\frac{2}{3})^2\frac{1}{3} + 4\times (\frac{2}{3})^3\frac{1}{3} + \dots$

為方便，設 $p=\frac{1}{3}$ , $q=\frac{2}{3}$ ，即

$E=p+2qp+3q^2p+4q^3p+\dots=p(1+2q+3q^2+4q^3+\dots)$

好了，AGS 出現了： $1,2q,3q^2,4q^3,\dots$ ，設

$S=1+2q+3q^2+4q^3+\dots$ ………………….. (1)

之後就是推導 G.S. sum 的技巧：乘以所謂公比（common ratio）：

$qS=q+2q^2+3q^3+4q^4+\dots$ ………………….. (2)

(1) – (2) 得

$(1-q)S=1+q+q^2+q^3+...=\frac{1}{1-q}$

於是

$E=pS=(1-q)S=\frac{1}{1-q}=\frac{1}{p}=\frac{1}{1/3}=3$

我們也可以求導法找

$S=1+2q+3q^2+4q^3+\dots$

只要考慮

$q+q^2+q^3+q^4+\dots = \frac{q}{1-q}$

$\Rightarrow \frac{d}{dq}(q+q^2+q^3+q^4+\dots )= \frac{d}{dq}\frac{q}{1-q}$

$\Rightarrow 1+2q+3q^2+4q^3+\dots = \frac{(1-q)-q(-q)}{(1-q)^2}=\frac{1}{(1-q)^2}$

完。

返回統測那題，

$=ab+(a+d)br+(a+2d)br^2+(a+3d)br^3+\dots +(a+(n-1)d)br^{n-1}$

$=ab(1+r+r^2+\dots +r^{n-1})+dbr(1+2r+3r^2+\dots+(n-1)r^{n-2})$

考慮

$S=1+2r+3r^2+\dots+(n-1)r^{n-2}$

之後，乘以公比，再相減得

$S=\frac{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r)^2}$

從而可求，從略。

用求導法解更方便，見下

$r+r^2+r^3+\dots+r^{n-1}=\frac{r(1-r^{n-1})}{1-r}$

$\Rightarrow \frac{d}{dr}(r+r^2+r^3+\dots+r^{n-1}) = \frac{d}{dr}(\frac{r(1-r^{n-1})}{1-r})$

$\Rightarrow 1+2r+3r^2+\dots+(n-1)r^{n-2} = \frac{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r)^2}$

即

$S=\frac{1-nr^{n-1}+(n-1)r^n}{(1-r)^2}$

（圖：授課員在學校生活（好似係））

把諸如以下常見問題

「設某年頭存入銀行本金元，年利率 %，複利息以年計，且每年年頭存入元。」

抽象化，也可玩玩代數，見下：

Let { a_n } be a sequence defined as

$a_n=\left \{ \begin{array}{ll} a \hspace{24 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n = 0\\ba_{n-1}+c \hspace{10 mm} \mbox{for}\hspace{5 mm} n \ge 1\end{array}\right.$