等邊三角形

中學時遇上一些數題，特別有印象，這次談有關等邊三角形。

e.g. 1

下圖 $\Delta AED$ ， $\Delta ABC$ ， $\Delta BFE$ 皆為等邊三角形

證明 CDEF 是平行四邊形。

只要看到當中的全等三角形，見下圖紅色者：

立知 DC=EB=EF 及 CF=AE=DE ，故 CDEF 為平行四邊形（opp. sides =）

運用複數解之亦頗容易。

把圖放在 Argand plane，設 a,b,c,d,e,f 分別對應點的複數。

命 z=cis60^o

則

c-a=z(b-a)
d-a=z(e-a)

上述兩式相差，曰

c-d=z(b-e)=f-e

證畢。（因為上式即是說 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{EF}$ ）

下題是中學時某次測驗，記得有一個方向我當時做不出來（慚愧）：

e.g. 2

u,v,w are complex numbers represent vertices of an equilateral triangle if and only if u^2+v^2+w^2=uv+vw+wu

‘only if’ 這個方向易，不失一般性設 u,v,w 是逆時針順序，

命 z=cis60^o

u-v=z(w-v)
w-u=z(v-u)

兩式相除，得

$\displaystyle \frac{u-v}{w-u}=\frac{w-v}{v-u}$

拆開後（中二同學，試試看），得

u^2+v^2+w^2=uv+vw+wu

至於 ‘if’ 這個方向，現在回想當然不難，因為由

u^2+v^2+w^2=uv+vw+wu

出發，沿上述拆開的相反方向，總能變回

$\displaystyle \frac{u-v}{w-u}=\frac{w-v}{v-u} \Rightarrow \frac{u-v}{w-v}=\frac{w-u}{v-u}$ ………………..(1)

另外，由於 u^2+v^2+w^2=uv+vw+wu 循環對稱，理應也可推出以下結果

$\displaystyle \frac{v-w}{u-w}=\frac{u-v}{w-v}$ ………………..(2)

（不過是把原式的 u,v,w ，分別以 v,w,u 取代之。）

合 (1)，(2) 式，得

$\displaystyle \frac{w-u}{v-u}=\frac{u-v}{w-v}=\frac{v-w}{u-w}$

從而

$\arg \displaystyle \frac{w-u}{v-u}=\arg \frac{u-v}{w-v}=\arg \frac{v-w}{u-w}$

即該三角形的三個內角也相同，換言之，它是等邊三角形。

這例提供了證明等邊三角形的方法，運用之：

e.g. 3

下圖為三個等邊三角形：

（畫完圖好像看到天使（誤～）

設 H,I,J 分別為 CD,EF,GB 的中點（mid-point），

證明 $\Delta HIJ$ 是等邊三角形。

為方便，把點安放在原點，並設複數 b,c,d,e,f,g,h,i,j 分別代表點。

命 z=cis60^o ，得

c=zb
e=zd
g=zf

又因 H,I,J 是中點，於是

2h=c+d=zb+d
2i=e+f=zd+f
2j=g+b=zf+b

把上三式找二次和，得

4(h^2+i^2+j^2)
=z^2(b^2+d^2+f^2)+2z(bd+df+fb)+(b^2+d^2+f^2)
=(z^2+1)(b^2+d^2+f^2)+2z(bd+df+fb)
=z(b^2+d^2+f^2)+2z(bd+df+fb) 　（ $\because z^3=-1\Rightarrow (z+1)(z^2-z+1)=0 \Rightarrow z^2-z+1=0$ ）
=z(b^2+d^2+f^2+2bd+2df+2fb)

再把之前三式兩兩相乘，得

4(hi+ij+jh)
=(zb+d)(zd+f)+(zd+f)(zf+b)+(zf+b)(zb+d)
=z^2(bd+df+fb)+z(bf+fd+db+b^2+d^2+f^2)+bd+df+fb
=(z^2+1)(bd+df+fb)+z(bf+fd+db+b^2+d^2+f^2)
=z(bd+df+fb)+z(bf+fd+db+b^2+d^2+f^2)
=z(b^2+d^2+f^2+2bd+2df+2fb)