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某題行列式
比如不用計算機，求以下行列式的值： 諸如此類的題已沒有市場價值，無論如何，修 M2 的同學可以試試。 先考慮 直接爆開又得，用以下概念爆開亦得： 不難想像把上述行列式爆（拆）開後，得到多項式。（以 為不定元，各項的 degree 不超過 3） 不妨想像它是個 polynomial in ，其他不定元（即 ）是常數，即 代入 ，得 由於第一和第三行相同，故 。 由因式定理（factor...
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HT
以下題目也見過數次，現在才知是 1981 年比利時數學競賽的某題目： 不停擲一枚公平硬幣，問以下哪一事件出現的機會較大？ (a) THT 比 TTT 先出現； (b) TTT 比 THT 先出現。 （T = tail，H = head） 比如 HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況； HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況； 不知諸君會否認為 (a) 和...
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db
培養空間感，相信紙上談兵頗難掌握。 比如圖中的 dovetailed block，要想像出它們如何合起來，估計對於一般人來說也非易事… … （答案在以下文件找） 聞說單單用電腦做示範是不足夠的，讓學生手觸實物，學習才會有效些。 http://www.puzzles.com/puzzleplayground/DovetailedBlock/DovetailedBlockPrintPlay.pdf
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2014
數謎高手把數字賦予意義，平平無奇的 2014，原來等於由第 12 個三角形數開始，連續 12 個三角形數之總和，即 其中 一般地，由 開始，找連續 m 個三角形數總和是 利用節節相消，上式化簡為 如果要求 ，上式再化簡為 當 ，上式得 2014； 當 ，上式得 2561，我等不到這個年份了。 那麼考慮 ，我們輸入 ，得 2035，頗接近 2014，香港主權移交未到 50 年。 問：有沒有別的...
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Core Math 小題
三角形邊長 a,b,c。 若 ，即該三角形是直角三角形。 若三角其中一角是鈍角（obtuse angle），而最長一邊邊長為 c，那麼 A. 還是 B. ？ （停一停，想一想） 由三角形不等式，必有 但不一定有 要答上題，我們可以考慮 cosine law。 因 C 是鈍角， 是負數，即 是正數。 可見 要加上一個正數，才是 ，故上題答案是 B。
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信不信 620448401733239439360000! = 4!23!620448401733239439359999! ？ 告訴你，這是極容易得到的結果。 先溫習一下， n! = 1*2*3*…*n 所以 (n!)! = 1*2*3*…*(n!) = 1*2*3*…*n*(n+1)*(n+2)*…*(n!-1)*(n!) = n!*(n+1)*(n+2)*…*(n!-1)*(n!) =...
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舊物
昨天在校執拾，尋到舊物。（以下圖像可點擊放大） 【數學類】 如無記錯，中三有學用對數表找尋有關 log 的值，不過對數表是印在教科書內，如下的從未用過： 相信就算你中學時用過，估計尋找 cotangent，sinh 和 cosh 的機會不高吧？ 沒有計算機的年代，繁瑣運算，包括單位轉換之類，都變成難題： 那是 1957 年。 以下是這本練習書的某習題，有興趣試試嗎？...
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人物曲線
這是蔣介石曲線 似嗎？ 其方程可在以下連結找找： http://www.wolframalpha.com/input/?i=Chiang+Kai%E2%80%90Shek+curve&lk=1&a=ClashPrefs_*PopularCurve.ChiangKaiShekCurve- 這是 person curve 的一例，見...
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聲波
有趣示範： 有關 Acoustic Levitation，我都是年多前聽網台節目《神秘之夜》（20121229 音波炮）才略聞，有興趣（並有時間的話）可聽聽： Download: 20121229.mp3
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某數型
擲一顆公平骰子兩次，出現的點數和可以是 2,3,4,…,12 其概率分佈如下： 如果該骰子並非公平，我們希望做到：出現的點數和 2,3,4,…,12 的概率個個一樣，理論上可行嗎？ 設 是擲出的點數， 命 （其中 ） 如果點數和的概率個個一樣則 由 解出 沒有甚麼特別，大家計計（比方說）P(sum=8) 便知「概率個個一樣」有沒有可能了。 但若留意係數： 它們似乎有點特別： 應該不是甚麼巧合吧。
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卡塔蘭
埋於 draft 多年，趁假期決心寫這篇。 先去片 有玩組合學的朋友相信對短片中的數列 1,1,2,5,14,42,… 絕不陌生。 同學，你可否猜到上述數列的通項（general term）是甚麼？ 告訴你，通項是 修讀高中數學者，一定知道 （二項式係數）是甚麼；上式的 就是 。 上述數列中的數 ，稱為卡塔蘭數（Catalan Numbers）。 不少外貌各異的數算例子，原來都可以卡塔蘭數算之。...
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無聊改卷後
二次方程某基本題： Suppose for any real value of , find the range of values of . 某同學的解： The inequality holds for any real value of , so we may put , yield 得到正確答案，可惜方法不對。
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二項極限
某顏冊頁見以下結果： （圖片來源：Mathematics） 在留言中提到 “…is a recently discovered beauty, probably in 2012…” 頓時有種叫人肅然起敬之感，但其實這不過是 M1，M2 的題目而已，同學可以先玩玩。 當然，我也要承認這是美麗的，起碼我從沒發現這個結果。 ＯＫ，做數時間： 對於足夠大的 ， 易知 ，故上式進一步化簡為 於是...
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無聊改卷後
This is a standard question in a quiz: Solve One of my students gave the following so-called solution: Genius! The answer is correct! However, the method is invalid.
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小三數
仔讀小學三年級，溫習數學時，對於某類數題，他總是不明白，比如： 「皮球售價 $28，比練習簿貴 $15，若以 $100 購買練習簿 3 本，應找回多少元？」 仔喜歡駁咀，常說我之前說過或沒有說過甚麼，於是我拿手機收錄我們的對話作證。 幾經艱苦，大約七八分鐘後，他終於可以由 100 – 15 * 3 寫到 (28 – 15) * 3 – 100 當然這是不對，但仔不滿，因為他說：明明聽到我說...
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平方和
隨便考慮 個正整數 設 若 其中 是正整數，，那麼我們必有 把上述兩式相乘，得 …………….. (*) 可見平方和的 次方也是某兩個實數 的平方和。進一步， 由 視 為涉及 的多項式， 易知 是 的「因式」，即 於是 (*) 可變為 可見 個正整數的平方和之 次方，也是 個實數的平方和。 如果連 也是正整數，那就更有趣；因為上式右邊便會是 個正整數的平方和。 但是，甚麼樣的 才可保證令...
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