!

信不信

620448401733239439360000! = 4!23!620448401733239439359999!

？

告訴你，這是極容易得到的結果。

先溫習一下，

n!

= 1*2*3*…*n

所以

(n!)!

= 1*2*3*…*(n!)

= 1*2*3*…*n*(n+1)*(n+2)*…*(n!-1)*(n!)

= n!*(n+1)*(n+2)*…*(n!-1)*(n!)

= n!*n!*(n+1)*(n+2)*…*(n!-1)

= n!*(n!-1)!

可見，

(n!)! 可分解為 n! 和 (n!-1)! 的乘積。

再而考慮

((n!)!)!

由上式，把 n 改為 n!，得

((n!)!)!

= (n!)!*((n!)!-1)!

= n!*(n!-1)!*((n!)!-1)!

可見，

((n!)!)! 可分解為 n!，(n!-1)! 和 ((n!)!-1)! 的乘積。

代入 n=3，得

((3!)!)! = 3!*(3!-1)!*((3!)!-1)!

即

720! = 3!*5!*719!

代入 n=4，就得到本文開首之結果。（用 wolframalpha 檢查吧 ^^）

無聊了，不過如果拿來擬 core math 題目，比如

Simplify .

就難為了學生吧。

注意：

千萬不要以為 (n!)! 是 n!!　（Oops，我還想加個感嘆號加強語氣，都係唔寫太多。）

因為 !! 是 double factorial 符號，意義是

9!! = 1*3*5*9

12!! = 2*4*6*8*10*12

之類。

如此，我們也輕易得到

n!=n!!*(n-1)!!