HT

以下題目也見過數次，現在才知是 1981 年比利時數學競賽的某題目：

不停擲一枚公平硬幣，問以下哪一事件出現的機會較大？

(a) THT 比 TTT 先出現；
(b) TTT 比 THT 先出現。

（T = tail，H = head）

比如

HHTHHHHTHTHHHTT… 就是 (a) 其中一種情況；
HTTHHHTTHHTTTHT… 就是 (b) 其中一種情況；

不知諸君會否認為 (a) 和 (b) 出現之機會均等？

非也，其實 (a) 發生的機率較大。

先用舊東西熱身：

舊學制修讀「應用數學」或「數學與統計」的同學對以下教科書題目，或有點印象：

Let be the probability that in tosses of a fair coin no run of two consecutive heads appears.

Show that, for .

這不難，

= P(no HH in n tosses)

= P(T)*P(no HH in (n-1) tosses) + P(HT)*P(no HH in (n-2) tosses)

=

巧妙地把情況分為 T… 和 HT… 兩個互斥事件來考慮。

進一步問：如何求 ？

那就要有少許純數的知識了。

用輔助方程：

解出

從而

利用

解出

熱身好了，談回原先問題。

設 (a) 發生之機率為 ，利用 tree diagram 列出出現 (a) 的情況並在分枝上記下 (條件) 概率，見下圖：

（為省時，不多解釋了。）

故此

解出

即「出現 THT 先於 TTT」的概率是 ，

而「出現 TTT 先於 THT」的概率是 。