某數型

擲一顆公平骰子兩次，出現的點數和可以是

2,3,4,…,12

其概率分佈如下：

如果該骰子並非公平，我們希望做到：出現的點數和

2,3,4,…,12

的概率個個一樣，理論上可行嗎？

設是擲出的點數，

命

P(X=i)=p_i （其中 i=1,2,3,4,5,6 ）

如果點數和的概率個個一樣則

$p_1^2=p_1p_2+p_2p_1\Rightarrow p_2=\frac{1}{2}p_1$

$p_1^2=p_1p_3+p_2p_2+p_3p_1\Rightarrow p_3=\frac{3}{8}p_1$

$p_1^2=p_1p_4+p_2p_3+p_3p_2+p_4p_1\Rightarrow p_4=\frac{15}{48}p_1$

$p_1^2=p_1p_5+p_2p_4+p_3p_3+p_4p_2+p_5p_1\Rightarrow p_5=\frac{35}{128}p_1$

$p_1^2=p_1p_6+p_2p_5+p_3p_4+p_4p_3+p_5p_2+p_6p_1\Rightarrow p_6=\frac{63}{256}p_1$

由

$p_1+(\frac{1}{2}+\frac{3}{8}+\frac{15}{48}+\frac{35}{128}+\frac{63}{256})p_1=1$

解出

$p_1=\frac{256}{693}$

沒有甚麼特別，大家計計（比方說）P(sum=8) 便知「概率個個一樣」有沒有可能了。

但若留意係數：

$\frac{1}{2},\frac{3}{8},\frac{15}{48},\frac{35}{128},\frac{63}{256}$

它們似乎有點特別：

$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$\frac{3}{8}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}$

$\frac{15}{48}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}$

$\frac{35}{128}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{8}$

$\frac{63}{256}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{9}{10}$

應該不是甚麼巧合吧。

某數型

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