埋於 draft 多年，趁假期決心寫這篇。
先去片
有玩組合學的朋友相信對短片中的數列
1,1,2,5,14,42,…
絕不陌生。
同學，你可否猜到上述數列的通項（general term）是甚麼？
告訴你，通項是
修讀高中數學者，一定知道 
上述數列中的數 
不少外貌各異的數算例子，原來都可以卡塔蘭數算之。
基本例子
先來個基本例子，不過是必修數學（core mathematics）的習題：
下圖題示某 4*4 方格圖。若由原點 (0,0) 出發，沿格線前往右上角 (4,4)，規定經過格點後，只能向右或向上沿格線前行，比如下圖顯示了一條「可行路徑」：
那麼，共有多少條「可行路徑」？
因為由 (0,0) 至 (4,4)，共 8「步」，當中有 4 步向右，4 步向上。在 8 步中，只要選定 4 步向右，餘下的 4 步必然是向上。
8 步選 4 步，選法共 
好了，除了向右向上，現在多加一個條件。
把 (0,0) 和 (4,4) 相連，得對角線。若「可行路徑」不能「橫越」對角線，比如以下情況：
或
等。我們稱這些路徑為「好路徑」。
現在問：由 (0,0) 至 (4,4)，有多少條「好路徑」？
要知道有多少條「好路徑」，我們可以考慮甚麼不是「好路徑」，就是「橫越」對角線的「可行路徑」，例如：
或
特別的數算技巧
現在數算「不好路徑」有多少。
考慮紅線 
現在把由 (0,0) 至 X 的那段路徑，沿紅線反射，變成由 (1,-1) 至 X 的一段路徑，見下圖：
這樣，我們得到一條由 (1,-1) 至 (4,4) 的「可行路徑」。
依循這個「沿紅線反射」的做法，我們知道每條「不好路徑」都對應著一條由 (1,-1) 至 (4,4) 的「可行路徑」。
逆向地，每條由 (1,-1) 至 (4,4) 的「可行路徑」，只要把由 (-1,1) 至 X（即和紅線相交的第一交點）「沿紅線反射」，就變回一條「不好路徑」。
於是「不好路徑」和「由 (1,-1) 至 (4,4) 的「可行路徑」」是「一一對應」的。
所以，有多少條「不好路徑」，即是問有多少條「由 (1,-1) 至 (4,4) 的「可行路徑」」。
這是必修數學科的題目，由 (1,-1) 至 (4,4)，共 8 步，其中 3 步向右，5 步向上。
在 8 步中選 3 步向右（餘下的必要向上），選法共有 
「由 (1,-1) 至 (4,4) 的「可行路徑」」共有
「不好路徑」共有
「好路徑」共有 
類似地，不難推論，由 (0,0) 至 (n,n) 的「好路徑」共有
條。
看到嗎，這就是卡塔蘭數
回想短片
還記得之前的短片內，我們是如何得到該數列？為何以所謂 “Left + Up above” 的方法可以得出卡塔蘭數？
停一停，想一想。
首先，以所謂 “Left + Up above” 的方法，我們得到：
由第二行起，每行的最後一個數（紅色者），都是上一行各數的總和。
我們考慮由 (0,0) 到 (4,4) 的「好路徑」，它們只能經過以下的（藍色的）格點，見下圖：
即格點坐標為 
現在，記由 (0,0) 到 (m,n) 的「好路徑」的數目為 
我將要說明：
我們可以把由 (0,0) 到 (4,4) 的「好路徑」分 4 類：
由 (0,0) 到 (0,3) 再向上一步到 (0,4) 再直往 (4,4)；
由 (0,0) 到 (1,3) 再向上一步到 (1,4) 再直往 (4,4)；
由 (0,0) 到 (2,3) 再向上一步到 (2,4) 再直往 (4,4)；
由 (0,0) 到 (3,3) 再向上一步到 (3,4) 再直往 (4,4)；
不難想像，上述分類是互斥（mutually exclusive）的，即任意一條由 (0,0) 到 (4,4) 的「好路徑」必屬於上述 4 類中的其中一類。比如：
就屬於「由 (0,0) 到 (2,3) 再向上一步到 (2,4) 再直往 (4,4)」那類。
易知上述 4 類的「好路徑」數目分別是
且 4 類互斥，故此
即卡塔蘭數
類似地，
我們似乎已看到卡塔蘭數 
其實不只 
可見，
於是，一經定義 
（小問題：我們知道 
另類公式
卡塔蘭數還有另一種生成公式如下：
一般地，
同學，不妨先驗證，再證明一下。
建議閱讀
這篇是極皮毛的簡介，說法累贅。幾年前看以下一篇，作為起點，趣味盎然，值得閱讀：
http://mathcircle.berkeley.edu/BMC6/pdf0607/catalan.pdf
有關卡塔蘭數的相關問題，這篇相信也目不暇給：
http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf
