平方和

隨便考慮 個正整數

設

若

其中 是正整數，，那麼我們必有

把上述兩式相乘，得

…………….. (*)

可見平方和的 次方也是某兩個實數 的平方和。進一步，

由

視 為涉及 的多項式，

易知 是 的「因式」，即

於是 (*) 可變為

可見 個正整數的平方和之 次方，也是 個實數的平方和。

如果連 也是正整數，那就更有趣；因為上式右邊便會是 個正整數的平方和。

但是，甚麼樣的 才可保證令 是平方數（從而使 為正整數）？

不知道。

現只考慮小的 。

考慮 ，

我們可以考慮畢氏數組：

設

其中 皆為正整數，那麼，從上面結果可知，

必能寫成 3 個正整數的平方和。

舉例，

，得 ；隨便考慮 ，

相乘，得

嗯，感覺不錯。

考慮 ，

我們似乎有不少方式，隨便找一個：

所以我們設

其中 皆為正整數，那麼，從上面結果可知，

必能寫成 4 個正整數的平方和。

舉例，

，得 ；隨便考慮 ，

相乘，得

頗像樣。

對，這不過是開始，但我停在此。