（只是草稿，不必認真）
《大象無形》
我們身處的「世界」是甚麼形狀？如果「世界」是指地球，那便是常識，幾歲小孩也能說出諸如「圓形」或「球體」之類的答案。但今天認為無可爭議的「常識」，對前人來說可能是匪夷所思。正如十五世紀末，意大利航海家哥倫布（Christopher Columbus）認為「世界」是球形，提出由歐洲西航到東印度群島的計劃，曾遭受抨擊：「誰會傻到相信在世界另一邊存在著和我們腳心相對的人？難道他們走路時腳後跟朝上而頭朝下嗎？」(註1)
想像一下，對「古人」來說，他們對「世界」形狀的「主流意見」是甚麼？「世界主要是平的吧，偶有凹凸彎曲；仰觀日月，它們看起來不過是圓盤，那麼人們身處的世界，或許也像圓盤吧？」要說服「古人」明白地球真的是「球」，並非一蹴而就的事。縱然到十六世紀，麥哲倫（Ferdinand Magellan）的船隊艱辛地作環球航行（麥哲倫本人卻在喪生途中，最終只有十多名船員完成他的遺志），在局部區域繪製出較準確的地圖，也難以證明地球是「球」。其實「世界是球」這個猜想在畢達哥拉斯甚或更早的年代已有，但要得到活生生的實證，恐怕要到人類真正離開地球，在外太空觀察地球，才予以肯定。補充一句，第一批由外太空觀看地圖的照片要到 1962 年才面世。(註2) 嚴格來說，地球並非完美球體，而是兩極稍平的球形。
進一步問，如果「世界」是指我們身處的「宇宙」，那麼這個「世界」是甚麼形狀？它會是個盛載著星宿萬象的長方體、球體還是別的奇怪形狀？初步想想，我們似乎無法得知答案，因為人們可以離開地球來觀察地球，卻無法離開宇宙來觀察宇宙！我不懂解答「宇宙是甚麼形狀」這個大問題，本文純粹介紹一下研究這類問題的數學工具：拓樸學（topology）的極初步概念和用語而已。
在思想宇宙形狀之前，讓我先談談地球的情況。上文提及「環球航行」，假設某人從某地，沿同一方向前行，最終返回原來起點，是否足以證明他身處之地是「球面」？不能。參考下圖，除了球面（sphere，見左圖），還有環面（torus，見右圖）甚或更多可能形狀，都可以從一點出發，沿同一方向前行，最終返回起點。
想像一下在上述兩面生活的「扁平生物」，他們的意識只有「前後」和「左右」兩個向度，沒有「上下」（即不能飛離球面和環面），扁平生物這種活在「二維」（2-dimensional）的東西，怎樣知道自己身處之世界是何樣？環面和球面上的扁平生物都可沿任何方向自由前行，一樣可以把他附近的「風景」記錄，如麥哲倫般繪製地圖。扁平生物說不出兩者的世界有何分別。但環面和球面有著本質上的不同，簡單說就是「有洞」與「無洞」之別。對於我們這些「三維生物」當然是「一目了然」的常識；然而，對於身處其中的扁平生物，特別如果「他們」相對於龐大「世界」而言是極度渺小，他們怎樣認識？將心比心，如有比人類身處在「更高維」的「生物」，宇宙形狀對「他們」來說可能也是「一目了然」的常識，但人類自己卻難以全然參透自己身處的宇宙是甚麼模樣。「他們」怎樣向我們「解釋」？
其實扁平生物也不是完全無知。這裡介紹一個假想實驗：扁平生物在某點出發作「環球航行」，身後拖著足夠長的繩子，一端釘在起點，另一端跟著他，到他返回起點，把繩子收起。如果他生活在球面上，則繩子必可「完全收回」（假設球面沒有甚麼障礙物），即是繩圈終可收縮成一點（見下）。
然而，設環面上最大半徑之圓為「赤道」，假如活在環面的扁平生物沿著垂直「赤道」的路徑前行，當設回起點，收繩子時，他就會發覺繩子不能縮成一點，因為繩子圍著環面的「柱身」。（見下）
這時，他才猛然醒覺，其身處的世界和另一個扁平生物的球面世界是截然不同！順帶一提，由一個繩圈收縮到另一個繩圈也有其數學描述，稱為同調變換（homology）。在曲面（或更一般的說法：流形）上，如果每個繩圈最後都可收縮成一點，該曲面是單連通的（simple connected），球面就是單連通的。
扁平生物意識到環面和球面有本質分別已是一大躍進，然而，球面上的扁平生物仍然不能了解他們身處的世界是絕對球面，還是好像以下「無洞」曲面一般：
其實，上面不同的曲面形狀，若以拓樸學的眼光看，都是「一樣」。為何？想像一下上圖中間的梨子其實是「泥膠」造成，現把搓揉泥膠，不難想像最後可把它變成左邊的西瓜或右邊的氣球。比較嚴格的數學說法是，上述形狀之間存在雙連續函數（continuous bijective function with continuous inverse）我們稱該兩個東西為拓樸等價（topological equivalence），稱該函數為同胚（homeomorphism）。
我們可以把泥膠戮穿，撕破再重組，一個泥膠球應該可以搓揉成「冬甩」吧？但這裡小心，同胚有著「連續變換」這個條件，而「戮穿撕破」肯定不是「連續變換」，而是「劇變」（數學人可以證明一下為何「戮穿撕破」代表不連續影射），所以球面和環面就不是拓樸等價，無論是一般觀點或拓樸學的觀點下，它們都是「不一樣」的。
還我舉一個簡單例子：正方體（的表面）和球面是否拓樸等價？考慮
同學看不明上面兩個數學符號也不緊要，簡單說，B 和 S2 分別是收集中心為 O，邊長為 2 的正方體和中心為 O，半徑為 1 的單位球面上的點 (x,y,z) 而已。除了用「泥膠」，我們現在用數學把正方形變成球面，方法是找出由 B 到 S2 的兩連續函數
使
修 M2 或接觸過向量的同學，上式不過是把三維向量 (x,y,z) 「單位化」的過程，即也是代表著把正方體上的點「拉到」單位球面上的過程。好了，跟著要證明 f 是雙連續函數，這留給大學數學 year 1 的同學作習題了，在此不贅述。可見，就算正方體有「尖角」，它和「平滑」球面其實是拓樸等價的。
上面說過「流形」（manifold）一詞，好像可以和「曲面」交換使用，但其實前者有嚴格定義。數學上定義（拓樸）流形，比如是：「n-dimensional topological manifold is a second countable Hausdoff space that is locally Euclidean of dimension n」 (註3) 當中涉及數學專門用語，故不詳談，以比喻來說，例如扁平生物，他的局部的鄰近的區域，和一個二維平面「看起來」差不多；而整個扁平生物居住的世界，就由這些局部地看來很像平面的區域「粘合」而成，那個世界就是二維流形。
現在談一些對二維流形的描述。
有界，有限
半球面是有界的二維流形，所謂邊界，可以理解為「赤道」，是一維流形。扁平生物行到邊界，就停下來，「此路不通」。半球面是有限的，因為它可被有限張「地圖」（局部地看來很像平面的東西）覆蓋。
無界，有限
把兩個全等半球面粘合，之前的邊界消失，形成球面。球面就是無界而有限的二維流形。扁平生物沒有邊界的阻隔，自由運行。正是這個原因，扁平生物很容易誤以為他們的世界是「無限」的，想一想，人們認為自己身處的宇宙是「無限」，會不會有可能是同樣誤解？
無界，無限
比如 x-y 平面，就是無界無限的二維流形，不能用有限的「地圖」把它覆蓋。
我們理解曲面，有時會認為它是某立體形狀的「表面」；比如蘋果皮，就是（三維的）蘋果的表面。但是二維流形，不一定是某個三維物體的表面，最簡單例子是莫比烏斯帶（Möbius strip）。考慮長方形 ABCD，如果把 AD 與 BC粘合，可以得到一條紙帶。如果粘合的情況是 A 與 B 合，D 與 C 合，得到一個可以分辨到外和內，好像皮帶的紙圈：
如果粘合的情況是 A 與 C 合，D 與 B 合，我們就得到一條莫比烏斯帶：
這是有限的二維流形，它不是某個三維物體的表面。如果「造物主」把扁平生物人的宇宙造成這樣子，他們會或許很疑惑：為何環繞一周，他們會「上下掉轉」？
設有「莫比烏斯帶世界」，安置於在三維座標架中（左圖），扁平生物在 P(a,b,c) 點出發，本來箭頭向上。受該世界影響，他一定不能飛離開表面，也看不見「莫比烏斯帶世界」的整體情況（比如該莫比烏斯帶是「透明」的），那麼，當他沿帶的中間線向同一方和環繞一周（右圖），向到 P 點，箭頭變了向下。
現在回到我們身處的三維世界。我形容宇宙像個舞台，日月星宿安置其中。問題是這個舞台是甚麼模樣？它會似個「鞋盒」嗎？但感覺上，我們不似被六塊平面包圍吧（當然是憑感覺說的），它龐大，似乎是無邊無際，那麼它是無限延伸的嗎？可能未必，和二維流形的情況類似，宇宙或者是一個無界但有限的三維流形；活在高維的「造物主」，或許類似創作「莫比烏斯帶世界」般把「鞋盒」扭曲，再粘合。比如考慮以下「鞋盒」：
把 AHEF 與 BGDC 粘合。這過程可以想像，只要鞋盒像泥膠或橡皮般有彈性便可，在我們的世界是可行的。然後再把 HEDG 與 AFCB粘合，最後把 HGAB 與 EDCF 也粘合。最後的過程似乎「做不到」，起碼難以想像，這是因為我們只有關於「前後」、「左右」和「上下」三個向度的意識。但若有高於三維的空間（可能是「造物主」的空間吧）提供足夠的向度作扭曲動作，上述過程或許輕而易舉吧。其實我不用說得如此神秘，數學上所謂「粘合」，比如 A 與 B粘合，就是視 A 和 B 為同一點（或把 A 影射去 B）而已，數學人似乎較易接受。原先的三維鞋盒有邊界，它的邊界是六塊二維平面。透過上述純粹幻想出來的過程，把平面粘合，即平面消失，亦即邊界消失，我們於是便製作了一個有限而無界的三維流形。身處其中的生物，只要沿同一方向運行，通過原先的邊界，比如上面 HGDE，瞬間在下面 ABCF 出現而不會感到甚麼驚異感覺；但在高維觀察者，或許可以看到他「身首異處」：
在這樣的宇宙內，沿同一方向運行，如果足夠長命，他總可以返回原處；我們在我們的宇宙，是這裡嗎？或許宇宙舞台真是彎彎曲曲的，形狀比上述粘合的鞋盒更複雜奇特，甚至有天人們可以利用宇宙彎曲或捲曲程度，找出「捷徑」，克服看似可怕的距離作宇宙航行，如哥倫布或麥哲倫一樣探索更大的未知。當然，今天要研究和接受超越「常識」的學問，情況遠比要古人接受地球是球，困難得多。
文章題解：「大象無形」出自老子《道德經》第四十一章。老子談到「道」的至高至極境界時，引用了「大白若辱，大方無隅，大器晚成，大音希聲，大象無形 」等說法。本文當然不是說這些東西。我只是想說我們看到千變萬象，但支持著千變萬象的背後那個宇宙（大象），我們卻看不到它的形狀（無形）。
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註 1：《龐加萊猜想》(多納爾.歐謝) P.6
註 2：http://baike.baidu.com/view/193002.htm
註 3：Introduction to Topological Manifolds (John M.Lee) P.33
