無聊談對稱多項式

中四同學懂得應用餘式定理（remainder theorem）分解因式。

舉例，因式分解（factorize）下式

我們可以視上式為關於 的多項式，即

代入 ，得

由餘式定理（或因式定理）知

是原式的因式（factor）。同理，由

，得 也是因式。

若視原式為關於 的多項式， 即

，易知 ，故 也是原式的因式。

於是， 這個關於 的 3 次多項式（polynomial of degree 3 in a,b,c）是原式因式。而原式是 5 次多項式，所以尚欠一個 2 次多項式作為它的因式。

這個關於 的 2 次多項式會是怎樣？

觀察原式 ，我們若把三個元 的任意兩個互換，比方說 互換，則原式變為

和原式無異。

這類多元的多項式，把任意兩個元互換，結果與原式無異者，稱為對稱多項式（symmetric polynomial）。

易知 也是對稱的，不難想像，尚欠的一個關於 的 2 次多項式因式，也必然是對稱的。它的一般形式如下：

其中 是常數。於是

隨便代入一些 ，例如代

，得

代

，得

解出 ，故

當然，人手做因式分解是無謂的，因為機器可以不用 1 秒便能 KO 之，見下：

https://www.wolframalpha.com/input/?i=factor+%28a%2Bb%2Bc%29%5E5-a%5E5-b%5E5-c%5E5

想多談一個對稱多項式例子，高中同學不會陌生，那就是希羅公式（Heron’s formula）

對於三角形其邊長分別為 者，則該面積為

其中，

把上式還原，得

可見它是關於 的對稱多項式。

現在嘗試純粹透過考慮代數，大抵上推算出上式。

首先，面積 與 有關。

如果 是關於 的多項式，由單位的考慮，知該多項式是 ４ 次的。

易知，在計算面積 時， 的地位無異，意思是在 的公式中，把三個元 的任意兩個互換，計出的結果不變，換言之， 是對稱多項式。

考慮當 時，，於是 是 的一個因式，由於原式 是對稱，猜想對稱多項式 也是 的因式。另外，由於它是一個 3 次的對稱多項式因式，而 是 ４ 次的，於是 尚欠的一個關於 的 1 次對稱多項式因式，即

所以

隨便考慮一個三角形，例如直角三角形 ，得

於是

故

得回希羅公式。

除了對稱多項式，還有循環多項式（cyclic polynomial），例子如下：

它不是對稱，但若依次把 換成 ； 換成 ； 換成 ，即

，結果與原式無異。

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習題

1.

對稱多項式一定是循環多項式嗎？

2.

Factorize .

3.

Factorize .

4.

Given that

;

prove that

or or .