如何證明
![2^n > 6n^2+8n+9]( "2^n > 6n^2+8n+9")
for all integers ![n \ge 10]( "n \ge 10")
?
第一感覺是，指數函數增長速度比二次函數快，所以上式自然成立。
但高中同學，如何具體證之？
方法一：mathematical induction
因
![2^{10}=1024]( "2^{10}=1024")
![6(10)^2+8(10)+9=689]( "6(10)^2+8(10)+9=689")
故對 ![n=10]( "n=10")
，不等式成立。
假設
![2^k > 6k^2+8k+9]( "2^k > 6k^2+8k+9")
考慮
![2^{k+1}=2(2^k)>2(6k^2+8k+9)]( "2^{k+1}=2(2^k)>2(6k^2+8k+9)")
又考慮
![2(6k^2+8k+9)-(6(k+1)^2+8(k+1)+9)]( "2(6k^2+8k+9)-(6(k+1)^2+8(k+1)+9)")
![=6k^2-4k-5]( "=6k^2-4k-5")
![=6(k-1)^2+8k-11]( "=6(k-1)^2+8k-11")
可見，當 ![k>\frac{11}{8}]( "k>\frac{11}{8}")
，![6(k-1)^2+8k-11>0]( "6(k-1)^2+8k-11>0")
。
於是
![2^{k+1}>2(6k^2+8k+9)>6(k+1)^2+8(k+1)+9]( "2^{k+1}>2(6k^2+8k+9)>6(k+1)^2+8(k+1)+9")
for ![k>\frac{11}{8}]( "k>\frac{11}{8}")
由數學歸納法原則，知
![2^n > 6n^2+8n+9]( "2^n > 6n^2+8n+9")
for all integers ![n \ge 10]( "n \ge 10")
方法二：Differentiation
設
![f(n)=2^n-(6n^2+8n+9)]( "f(n)=2^n-(6n^2+8n+9)")
![f'(n)=2^n\ln2-(12n+8)]( "f'(n)=2^n\ln2-(12n+8)")
![f''(n)=2^n(\ln2)^2-12]( "f''(n)=2^n(\ln2)^2-12")
解
![2^n(\ln2)^2-12>0]( "2^n(\ln2)^2-12>0")
得
![n>\log_2\frac{12}{(\ln2)^2}\simeq 4.64]( "n>\log_2\frac{12}{(\ln2)^2}\simeq 4.64")
故
![f''(n)>0]( "f''(n)>0")
for all ![n>4.64]( "n>4.64")
即
![f'(n)]( "f'(n)")
is strictly increasing for all ![n \ge 5]( "n \ge 5")
因為
![f'(8)>0]( "f'(8)>0")
所以
![f'(n)>0]( "f'(n)>0")
for all ![n\ge 8]( "n\ge 8")
亦即
![f(n)]( "f(n)")
is strictly increasing for ![n\ge 8]( "n\ge 8")
因
![f(10)>0]( "f(10)>0")
所以
![f(n)>0]( "f(n)>0")
for all ![n\ge 10]( "n\ge 10")
一般地，因為對多項式求導（differentiate）若干次，最終它總會歸於無有（vanish），但對 ![2^n]( "2^n")
求導（w.r.t. n），無論多少次，![2^n]( "2^n")
始終如影隨形，可見指數函數增長速度比多項式函數快。
方法三：二頂式定理
對於 ![a>1]( "a>1")
，![n\in \mathbb{N}]( "n\in \mathbb{N}")
，有
![a^n>n]( "a^n>n")
for sufficiently large ![n]( "n")
因為
![a^n=(1+b)^n=1+nb+\frac{n(n-1)}{2}b^2+\dots]( "a^n=(1+b)^n=1+nb+\frac{n(n-1)}{2}b^2+\dots")
故
![a^n>\frac{n(n-1)}{2}b^2]( "a^n>\frac{n(n-1)}{2}b^2")
![\frac{a^n}{n}=\frac{b^2}{2}(n-1)>1]( "\frac{a^n}{n}=\frac{b^2}{2}(n-1)>1")
for sufficiently large ![n]( "n")
於是
![a^n>n]( "a^n>n")
for sufficiently large ![n]( "n")
.
考慮 ![k\in \mathbb{N}]( "k\in \mathbb{N}")
，上式把 ![a]( "a")
以 ![a^{\frac{1}{k}}]( "a^{\frac{1}{k}}")
取代之（注意：![a^{\frac{1}{k}}]( "a^{\frac{1}{k}}")
仍大於 1），得
![a^n>n^k]( "a^n>n^k")
for sufficiently large ![n]( "n")
……………………….. (*)
考慮 ![c\in \mathbb{N}]( "c\in \mathbb{N}")
，我們可以進一步說
![a^n>cn^k]( "a^n>cn^k")
for sufficiently large ![n]( "n")
嗎？可以，由 (*)，知
![a^n>n^{k+1}=nn^k>cn^k]( "a^n>n^{k+1}=nn^k>cn^k")
for sufficiently large ![n]( "n")
是也。
於是，只要 ![n]( "n")
足夠大，則
![2^n>18n^2]( "2^n>18n^2")
![2^n>24n]( "2^n>24n")
![2^n>27]( "2^n>27")
把上述三式加起，得
![2^n>6n^2+8n+9]( "2^n>6n^2+8n+9")
for sufficiently large ![n]( "n")
.
方法四：power series of ![e^x]( "e^x")
對 ![a>1]( "a>1")
，有
![a^n=e^{n\ln a}=1+n\ln a+\frac{(n\ln a)^2}{2!}+...+\frac{(n\ln a)^{k+1}}{(k+1)!}+\dots]( "a^n=e^{n\ln a}=1+n\ln a+\frac{(n\ln a)^2}{2!}+...+\frac{(n\ln a)^{k+1}}{(k+1)!}+\dots")
立即有
![a^n>\frac{(n\ln a)^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{(\ln a)^{k+1}}{(k+1)!}nn^k>cn^k]( "a^n>\frac{(n\ln a)^{k+1}}{(k+1)!}=\frac{(\ln a)^{k+1}}{(k+1)!}nn^k>cn^k")
for some c>0 and sufficiently large ![n]( "n")
之後就如方法三得
![2^n>6n^2+8n+9]( "2^n>6n^2+8n+9")
for sufficiently large ![n]( "n")
.
明顯地，方法未窮盡，香港加油！
