某題數算

某 2-mark 問題

7 項比賽，各項設有冠亞季 3 獎，共 21 個不同的得獎者。
在各項比賽中分別找出 1 人，共 7 人排隊。
要求當中至少有 2 名冠軍，2 名亞軍及 2 名季軍，
證明排法共 3175200 種。

建議解法

分三情況：
「3 冠 2 亞 2 季」
「2 冠 3 亞 2 季」
「2 冠 2 亞 3 季」

考慮「3 冠 2 亞 2 季」，
先在 7 項目選 3 個，抽出當中的冠軍，共 種組合。
再在餘下 4 項目選出 2 個，抽出當中的亞軍，共 種組合。
再在餘下 2 項目選出 2 個，抽出當中的季軍，共 種組合。
故「3 冠 2 亞 2 季」共有 種組合。

類似地
「2 冠 3 亞 2 季」共有 種組合。
「2 冠 2 亞 3 季」共有 種組合。

故排法數目為

學生解法

Method 1：
Method 2：
Method 3：

上述的「一行」解答都得到在題目內已知的答案 3175200，授課員應如何給分？

解學生解

Method 1

最多學生用 解之，但學生卻不一定很清楚地解釋。

我問學生何解，他答：「『至少有 2 名冠軍，2 名亞軍，2 名季軍』就是『』，餘下的一個獎，一定在餘下一個項目找出，即『』，所以『』囉。」

我問：「餘下一個項目找出的，可以是冠亞或季，不是要『乘以 3』嗎？」

學生回：「『乘以 3』會計錯 3175200 的，但為何會錯？」

授課員陳述正確解法易，但解釋不正確的解法較難，現試述之。

事實上，一般地，設有 個項目（），

以學生的解法，得

以建議的解法，得

兩者其實是一樣。

但要經由如上的代數運算才看出來的東西對「必修數學」課程而言似乎太不「自然」。

上述說法也沒有直接解釋為何『乘以 3』是不需要的。

現在以較具體例子化解『乘以 3』的問題。

想像四個盒，上面分別寫上冠、亞、季及Ｘ。

把數字 {1,2,3,4,5,6,7}，不重覆地

抽 2 個數字放在「冠」盒，共 種選擇；
抽 2 個放在「亞」，共 種選擇；
抽 2 個放在「季」，共 種選擇；
餘下的 1 個放在「Ｘ」，共 種選擇；

例如

　冠　　亞　　季　　Ｘ
{1,2}　{3,4}　{5,6}　{7}　

即是
從項目 1,2 找出冠軍；
從項目 3,4 找出亞軍；
從項目 5,6 找出季軍；
從項目 7 找到冠亞或季軍一人。

正因為Ｘ可以有 3 個選擇，所以

　冠　　亞　　季　　Ｘ
{1,2}　{3,4}　{5,6}　{7}　

其實代表著 3 個組合。

所以選擇的組合似乎總共有

然而，

我們考慮以下 3 個情況

　冠　　亞　　季　　Ｘ
{1,2}　{3,4}　{5,6}　{7}　
{2,7}　{3,4}　{5,6}　{1}　
{7,1}　{3,4}　{5,6}　{2}

代表著的 個組合，當中是有重覆的。比如當我們考慮的Ｘ為「冠軍」，即

　冠　　亞　　季　　冠
{1,2}　{3,4}　{5,6}　{7}　
{2,7}　{3,4}　{5,6}　{1}　
{7,1}　{3,4}　{5,6}　{2}

上述 3 個情況，其實是同一個組合：

　冠　　　亞　　季
(1,2,7)　{3,4}　{5,6}　

又例如我們考慮的Ｘ為「亞軍」，以下 3 個情況：

　冠　　亞　　季　　亞
{1,2}　{3,4}　{5,6}　{7}　
{1,2}　{4,7}　{5,6}　{3}　
{1,2}　{7,3}　{5,6}　{4}

其實也是同一個組合

　冠　　　亞　　季
{1,2}　{3,4,7}　{5,6}

考慮Ｘ為「季軍」亦然。

故此，在 個如下的情況中

　冠　　亞　　季　　Ｘ
{a,b}　{c,d}　{e,f}　{g}　

每 3 個其實代表同一個組合，亦即

選擇的組合似乎總共有

即

個排法。

問題來了，如果學生答一行解：，我應該相信學生明白諸如上述的考慮，還是相信學生只是看到題目中的「至少 2」「至少 2」「至少 2」及 3175200 而得出結論而已。所以我就二口二面找他傾談了。

Method 2

另一學生用 ，傾談時，他的解釋不太叫我信服。

現在嘗試解釋。

現有 3 個盒，把數字 {1,2,3,4,5,6,7}，不重覆地

抽 3 個數字放在第一個盒，共 種選擇；
抽 2 個數字放在第二個盒，共 種選擇；
抽 2 個數字放在第三個盒，共 種選擇；

比如

{1,2,3}{4,5}{6,7}

現在把「冠」、「亞」、「季」分別安排在三個盒上，

第一個盒，可以有 3 種選擇；
第二個盒，則有 2 種選擇；
第三個盒，1 種，比如

冠｛1,2,3｝
亞｛4,5｝
季｛6,7｝

但總選擇共有 嗎？

非也，因為有兩個盒子盛載的數字數目相同，都是 2 個，故 的數法中有重覆，舉例

case 1：抽出 {1,2,3} 放在第一盒，{4,5} 放在第二盒，{6,7} 放在第三盒後，安排第一二三個盒分別為 (冠,亞,季)。

case 2：抽出 {1,2,3} 放在第一盒，{6,7} 放在第二盒，{4,5} 放在第三盒後，安排第一二三個盒分別為 (冠,季,亞)。

上述兩個情況是相同的。

亦即所謂 個情況中，每兩個如上的情況，其實代表著同一個。

故共有

種組合。

問學生，他說「三個同級獎要分「冠」、「亞」、「季」三條隊，所以就要『乘以 3』。」其實又不能說他完全唔明，但又很難要求學生完全解得清楚。事實上，我所謂解釋又可以說是完全清楚的解釋嗎？

Method 3

在 Method 1 中，我們見最終答案為 。

代入 ，得 。

正是 Method 3 的解。

但學生當時是怎樣想而寫出下式？

如果他說：「冠軍可以有 7 個選擇，亞軍 6 個，季軍 5 個；但冠亞季有 3 種選擇，即 。」

你認為如何？究竟是巧合還是正確？

留給大家作為數學口試（如有）練習了。