點解

把 n 人分若干組，各組人數不一定相同。

命

= 不少於 k 人的組數。

（易知 ）

= 人數排第 k 位（由多至少排列）的組，其組內人數。

（易知 ）

1.證明

解

考慮

第 1 行有 點；
第 2 行有 點；
第 3 行有 點；
…諸如此類，

得到（比方說）：

（即 ）

於是點的總數為

但若考慮列，如圖所示，

第 1 列有 5 點，表示有 5 組人數不少於 1。

由定義，即

第 1 列有 點。

第 2 列有 5 點，表示有 5 組人數不少於 2。

由定義，即

第 2 列有 點。

第 3 列有 4 點，表示有 4 組人數不少於 3。

由定義，即

第 3 列有 點。

如此類推。

因此總點數為

兩種方法的計算結果應當相同，所以式子成立。

2.證明

解

把上圖的點「加權」，

第 1 行每點乘「權」1；
第 2 行每點乘「權」3；
第 3 行每點乘「權」5；
…
第 k 行每點乘「權」；
…
諸如此類，

故加權點數總和為

現在考慮列，

第 1 列的加權點數和是 ；
第 2 列的加權點數和是 ；
第 3 列的加權點數和是 ；
…
諸如此類，

故加權點數總和為

兩種方法的計算結果應當相同，所以式子成立。

3.證明

解

與之前證明類似。