利用比較係數做積分

之前談過積分的某技巧，見

http://johnmayhk.wordpress.com/2012/02/07/integration-by-parts/

現談另一個。

例 1

考慮多項式 ，易知

注意到

和 皆是多項式，且它們的次數（degree）相同，

換言之

多項式乘 後求導（differentiate），得多項式乘 ，且該多項式的次數不變；

逆向地，

多項式乘 後求積（integrate），理應得多項式乘 ，且該多項式的次數不變。

舉例，求

不妨設

兩邊求導（differentiate with respect to ），得

現比較係數，得

於是

注：上法只用求導法和比較係數，沒用積分技巧。

例 2

易知

故

其中 是以 為不定元的多項式（polynomial in ）

可見

對 polynomial in 求導，得到的也是 polynomial in ，不過次數（degree）增加 1；

逆向地，

對 polynomial in 求積，得到的理應也是 polynomial in ，不過次數減少 1。

那麼，比如求

我們可以用類似例一的方法，設

嗎？這裡要多一些考慮。先看看如此設定會有何問題：

把上式求導，得

比較係數，得

咦，出現不協調！明顯是設定的自由度（degree of freedom）不夠。為了增加自由度，我們可設

（注：求導後， 變成多項式的常數， 變成多項式的不定元 ）

把上式求導，得

比較係數，得

於是

多舉一例，求

設

把上式求導，得

比較係數，得

於是

例 3

求

時，大家又可否用類似以上方法處理之？