把一個等差數列(arithmetic sequence)「放」在另一個等差數列的題目也頗常見,例如:
第一行有 3 格。
之後,每行格數比之前多 2。
由第 3 行第 4 個格(左起數起),
放下某個等差數列(5,9,13,…)的首項。
問這個數列的第 2014 項,在第幾行,第幾格?
把問題一般化。
設每行格數為 ,等差為
,
(如上例,,
)
設被放入的數列為 ,等差為
,
(如上例,,
)
把 放在第
行,第
格,
(如上例,,
)
問 在第幾行,第幾格?
解
設第 行最左及最右的數分別為
及
。
如果 在第
行,則
。
現在找 及
。
因 在第
行,
故 ;
因 在第
格,
故第 行有
個空格,
即
亦即 及
。
類似地, 及
易知,
及
而
故
類似地,得
好了,如果 ,
即
解上述不等式,得 。
即 在第
行,第
個。
好了,用上式解下 2000 年會考題:
此例中,
,
由上述不等式,得
及
簡化,得
及
解上兩式,得
及 (
or
)
結論是 。
即 “2000″ 在第 37 行。(第 個)
習題:上文最初那條。
延伸:其實出這類題可以有很多變化,比如
即數字間有空格,空格數目是等差數列云云。
如果考慮等比數列(geometric sequence),甚或其他數列,又怎樣?
算,無聊完畢。
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