證明某級數

早前在網上見下圖

聞說上式曾走進 Ramanujan 的夢中。

其實曾修讀中學純數的同學也懂得證明上式。

第一步是把

$\frac{1}{x^3(x+1)^3}$

分解成部分分式（partial fractions）。

當然利用 wolframalpha（見此 post），秒殺如下：

$\frac{1}{x^3(x+1)^3}\equiv 6(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1})-3(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{(x+1)^2})+(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{(x+1)^3})$

第二步是節節相消，即

$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{k^3(k+1)^3}$

$=\displaystyle \sum_{k=1}^n(6(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})-3(\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2})+(\frac{1}{k^3}-\frac{1}{(k+1)^3}))$

$=6(1-\frac{1}{n+1})-3\displaystyle \sum_{k=1}^n(\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2})+(1-\frac{1}{(n+1)^3})$

第三步是取極限，即

$\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^3(k+1)^3}$

$=\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}(6(1-\frac{1}{n+1})-3\displaystyle \sum_{k=1}^n(\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2})+(1-\frac{1}{(n+1)^3}))$

$=6-3(\frac{\pi^2}{6}+\frac{\pi^2}{6}-1)+1$

(因為 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{\pi^2}{6}$ )

亦即

$\frac{1}{1^3\cdot 2^3}+\frac{1}{2^3\cdot 3^3}+\frac{1}{3^3\cdot 4^3}+\dots =10-\pi^2$

此 post 本已完，但第一步分解部分分式，修純數的朋友，如果不用軟件而是徒手而作，還記否有快一點的方法？

就是利用求導法，有印象嗎？

設

$\frac{1}{x^3(x+1)^3}\equiv \frac{a_1}{x}+\frac{a_2}{x^2}+\frac{a_3}{x^3}+\frac{b_1}{x+1}+\frac{b_2}{(x+1)^2}+\frac{b_3}{(x+1)^3}$ ……………. (*)

$\frac{1}{x^3(x+1)^3}\equiv \frac{a_1x^2+a_2x+a_3}{x^3}+g(x)$

（其中 $g(x)=\frac{b_1}{x+1}+\frac{b_2}{(x+1)^2}+\frac{b_3}{(x+1)^3}$ ）

$\frac{1}{(x+1)^3}\equiv a_1x^2+a_2x+a_3+x^3g(x)$

代入 x=0 ，得 a_3=1 。

求導，得

$\frac{-3}{(x+1)^4}\equiv 2a_1x+a_2+x^3g'(x)+3x^2g(x)$

代入 x=0 ，得 a_2=-3 。

再求導，得

$\frac{12}{(x+1)^5}\equiv 2a_1+x^3g''(x)+3x^2g'(x)+3x^2g'(x)+6xg(x)$

代入 x=0 ，得 $12=2a_1\Rightarrow a_1=6$ 。

好了，求 b_1,b_2,b_3 。再由 (*) 出發，今次兩邊乘以 (x+1)^3 ，用之前相同的技巧：

代入（今次是代入 x=-1 ），求導，再代入，再求導，知

b_3=-1,b_2=-3,b_1=-6

亦不難得出更一般的結果：

$\frac{1}{(x-a)^n(x-b)^n}\equiv \frac{(-1)^n}{(a-b)^{2n}}\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1}\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}((\frac{b-a}{x-a})^{n-k}+(\frac{a-b}{x-b})^{n-k})$

不過，這個時代還在「講呢啲」嗎？主流意見應該認為：太無聊吧。

證明某級數

Trending Articles

《沈冰自述——我和周永康的故事》全本

Moog - Subsequent 25

出售: 林憶蓮•回來愛的身邊 (東芝1A1頭版)

筆記 - 使用 PowerShell 清除停用 AD 帳號與 OU

df-dferh-01 中国区 Android 安装 Google Play Store 后报错的解决办法

「一棒接一棒、棒棒強棒」108學年度家長會長交接典禮

吸烟与MBTI类型判断捷径 (豆瓣 INFJ的奇幻之旅小组)

acermark龍璿國際展出多款包裝設備

枋寮北勢寮隆山宮睽違12年再辦迎王祭典

日本女优有村千佳COS集锦：狂三&黑白岩&亚丝娜&绫波丽

有遇到过这个问题么。/jsb-videoplayer.js not found, possible missing file.

MAS v2.8 magicgenius 汉化版 - 11.11更新

出售: Monster Cable Interlink Reference 2

福建佛教人士望云和尚(林斌)的九仙禅寺被强行收走，望云妈妈被赶出寺庙

R 语言中的OpenBLAS*和英特尔® 数学核心函数库的性能比较

[转载]煞貢、直星、人專吉日\金神七煞歌

HAKERS哈克士戶外 12月8~14日廠拍

OBS Studio 23.2.1 免安裝中文版 - 免費網路實況廣播軟體實況主必備軟體取代Fraps

<請教>行駛中安卓機會重新開機

Udp2raw-tunnel 及其一键安装脚本