上課偶拾之 sd

今天開始教 standard deviation（標準差），課堂設計都是一般時序：

1. Range 和 Inter-quartile range 作為量度離散程度的工具之不足。
2. 創作可以涉及全體數據的量度工具，由最簡單考慮

$\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})}{n}}$

到 mean deviation

$\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n|x_i-\overline{x}|}{n}}$

再到

$\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n}}$

最後

$\displaystyle{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}{n}}}$

如此就是一堂了。

當中，我以具體例子（統計數據）帶出

$\displaystyle{\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})}{n}}$

是無用的工具。同學都看到答案總是零，亦配以證明。

問：有沒有方法改良那個工具？

一些學生提出加 absolute value，也有一些學生很快爆出 standard deviation。

但學生 Alan 卻提出：

「因為考慮了所有數據才會出問題，不如考慮由 Q_1 （lower quartile）到 Q_3 （upper quartile）的數據，來計

$\displaystyle{\frac{\sum^m (x_i-\overline{x})}{m}}$ ，

這樣便有非零答案。」

不錯的意見！這也是我從沒想過的。雖然這個做法不能對付「正負抵消」的影響，但可貴之處是學生自己用腦去思考，甚感恩惠。