old question is so…

無聊地，無意地看回十多年前的筆記某題：

Question 1

If $\alpha,\beta,\gamma$ are roots of x^3+px+q=0 , express

$(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$

in terms of and .

現在剛開始教二次方程 ax^2+bx+c=0 的判別式

$\Delta=b^2-4ac$ ，

當 a=1 ，我們有：

$\Delta=(\alpha-\beta)^2$

其中 $\alpha,\beta$ 是二次方程 x^2+bx+c=0 的根（roots）。

對於三次方程，

$\Delta=(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$

也可視作判別式，判別三次方程的根之性質。

其實 Question 1 不過是普通的純數題目，在這裡解一解吧：

因 $\alpha,\beta,\gamma$ 是 x^3+px+q=0 的根，故

$x^3+px+q\equiv (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

故

$\frac{d}{dx}(x^3+px+q)\equiv \frac{d}{dx}(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

$3x^2+p\equiv (x-\alpha)(x-\beta)+(x-\beta)(x-\gamma)+(x-\gamma)(x-\alpha)$

在上式中分別代入 $x=\alpha,\beta,\gamma$ ，得

$3\alpha^2+p=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)$
$3\beta^2+p=(\beta-\gamma)(\beta-\alpha)$
$3\gamma^2+p=(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)$

把上面三式相乘，得

$(3\alpha^2+p)(3\beta^2+p)(3\gamma^2+p)=-(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)^2$

展開等號的左面，得

$(3\alpha^2+p)(3\beta^2+p)(3\gamma^2+p)$
$=p^3+3(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2)p^2+9(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2)p+27\alpha^2\beta^2\gamma^2$ ………………(*)

展開上式，可以有系統地問： p^3 的係數是甚麼？ p^2 的係數是甚麼？的係數是甚麼？最後，常數項是甚麼？那就不難得出 (*)。

或許同學未接觸過純數，讓我慢慢處理：

已知

$x^3+px+q\equiv (x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$

展開等號的右邊，得

$x^3+px+q\equiv x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma$

比較係數，得

$\alpha+\beta+\gamma=0$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p$
$\alpha\beta\gamma=-q$

那麼

$(\alpha+\beta+\gamma)^2=0$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=0$
$\alpha^2+\beta^2+\gamma^2=-2p$

且

$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=p$
$(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2=p^2$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2+2(\alpha^2\beta\gamma+\alpha\beta^2\gamma+\alpha\beta\gamma^2)=p^2$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2+2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)=p^2$
$\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=p^2$