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錯誤

May 1, 2013, 4:20 am

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有些主題似乎長寫長有，其中一個是「錯誤」。

1.中五學生：

希望上述不是常見錯誤。但在解釋幾何這課題，學生常有以下問題：

設 A(a,b) , B(c,d) 。

若 M(x,y) 是 A,B 的中點（mid-point），

對低年級同學，他們多數知道

$x=\frac{a+c}{2}$ 及 $y=\frac{b+d}{2}$

可是，對高年級同學，尤其在軌跡（locus）這個課題上，同學往往寫出以下關係：

$AM=MB \Longrightarrow \sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}=\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}$

之後錯於無聊運算。

現在數學課程沒有正式強調「邏輯」，學生未必知道諸如「充要條件」為何物。

如果是，的中點，則 AM=MB ；可是
如果 AM = MB ，則 未必是 ，的中點。

為何，看下圖，若是圓心，易知 AM=MB ，但並非，的中點。

＂ AM = MB ＂是＂是，的中點＂的「必要條件」，卻不是「充份條件」。

$\sqrt{(a-x)^2+(b-y)^2}=\sqrt{(x-c)^2+(y-d)^2}$ 不保證 M(x,y) 是中點，繼續進行其他運算也沒意思了。

考慮

如果是，的中點，則 $M=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$ ；
如果 $M=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$ ，則也是，的中點。（為何？）

＂ $M=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2})$ ＂是＂是，的中點＂的「必要條件」也是「充份條件」，即「充要條件」是也，以「充要條件」作等價命題之推論吧。

2.中三學生：

問 $\frac{\sin x+2\cos x}{3\sin x+4\cos x}$ 的值，如果做多項選擇題，這學生計算

$\frac{2+2(3)}{3(2)+4(3)}=\frac{4}{9}$

可以得正確答案。但認為

＂ $\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{a}{b}$ ＂推出＂ $\sin x=a$ 和 $\cos x=b$ ＂，就是錯誤，也可以「不是充份條件」來描述錯誤之因由。

問題太多了，只貼貼，解卷時才詳述：

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