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積分二三事

June 16, 2014, 8:50 am

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1.

同事提我，求

$\int \frac{dx}{1-x^2}$

時，如果設

$x=\sin \theta$ （或 $x=\cos \theta$ ）

之類是錯的。

雖然「照做」是沒有問題，即

$dx=\cos \theta d\theta$

$\int \frac{dx}{1-x^2}=\int \frac{\cos \theta d\theta}{1-\sin^2 \theta}=\int \frac{d\theta}{\cos\theta}=\int \sec\theta d\theta=\ln|\sec\theta+\tan \theta|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C$

但同事指出，在

$\int \frac{dx}{1-x^2}$

中，的取值範圍（除了不可以是 1 或 -1 外）沒有限制，但一旦設

$x=\sin \theta$

就把的值限制在介乎於 -1 和 1 之間。

不過， $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ 確實是 $\frac{1}{1-x^2}$ 的反導數（anti-derivative），那麼，如果設

$x=\sin \theta$ ，並注明 -1 < x < 1 ，

利用代入法得出 $\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$ ，

然後考慮，當 x > 1 ，

$\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|$

$=\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\ln(-\frac{1+x}{1-x})$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{x-1}{x+1}\cdot(\frac{x+1}{x-1})'$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{x-1}{x+1}\cdot\frac{-2}{(x-1)^2}$

$=\frac{1}{1-x^2}$

類似地，當 x < -1 ，也得到

$\frac{d}{dx}\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|$

$=\frac{1}{1-x^2}$

我們才敢說

$\int \frac{dx}{1-x^2}=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C$

考評人員應該接納吧。

當然，我有教導學生用部分分式處理，即

$\int \frac{dx}{1-x^2}=\int \frac{1}{2}(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x})dx=\frac{1}{2}\ln|\frac{1+x}{1-x}|+C$

有關定積分中的代入法，很久前討論過，有興趣者可點擊下文看看：

[AL][PM] Definite integrals — trouble? (3)

2.

現在嘗試「玩玩」複數，是之前學生問的：

求

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$

時，可否代

x=iu ？

當然，解這例的主流方法是設

$x=\tan\theta$ ，易知

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=\int_0^{\pi/4}d\theta=\frac{\pi}{4}$ 。

如果設

x=iu

並甚麼也不理會地視為普通常數，且當一般的求導和求積法去處理，我們有

dx=idu

並有

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$

$=i\int_0^{-i} \frac{du}{1-u^2}$

$=\frac{i}{2}[\ln(\frac{1+u}{1-u})]_0^{-i}$

$=\frac{i}{2}\ln(\frac{1-i}{1+i})$

$=\frac{i}{2}\ln(-i)$

不難知

$\ln (z)=\ln |z|+i\arg (z)$

故

$\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}=\frac{i}{2}(ln1+i(-\frac{\pi}{2}))=\frac{\pi}{4}$

答案正確。

多玩一道「例題」，求

$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

主流做法是設

$x=\tan \theta$ ，得

$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}$

$=\int_0^{\pi/4} \frac{\sec^2 \theta d\theta}{\sec \theta}$

$=(\ln|\sec \theta + \tan \theta|)_0^{\pi/4}$

$=\ln(1+\sqrt{2})$

現在玩複數，設

$x=i\sin \theta$

得

$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\int_0^{\alpha} \frac{i\cos \theta d\theta}{\cos \theta}=i\alpha$

（其中 $\alpha$ 滿足 $i\sin \alpha =1$ ）

由 $e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta$ ，不難得出

$i\sin\theta = \frac{1}{2}(e^{i\theta}-e^{-i\theta})$

故

$i\sin \alpha =1$

$\Rightarrow \frac{1}{2}(e^{i\alpha}-e^{-i\alpha})=1$

$\Rightarrow e^{2i\alpha}-2e^{i\alpha}-1=0$

$\Rightarrow e^{i\alpha}=1+\sqrt{2}$

$\Rightarrow i\alpha=\ln(1+\sqrt{2})$

即

$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=\ln(1+\sqrt{2})$

似乎「可行」。（當然，這樣的方法有些問題未弄清，是強推的，一定被插死了 XP）

3.

再記一事，也是同事問及：

利用一些網上做不定積分的工具，例如

http://www.mathportal.org/calculators/calculus/integral-calculator.php

處理

((cos(x)+sin(x))/(cos(x)-sin(x)))^0.5

竟出現錯誤答案：

(sin(2x)-cos(2x))*sqrt(2)/4

而用 Wolframalpha，則「出不到」答案，見

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28%28cos%28x%29%2Bsin%28x%29%29%2F%28cos%28x%29-sin%28x%29%29%29%5E0.5

問陳博士，他告之主要是因為被積分的是複函數，它的原函數要以「特別函數」（special functions）的組合來表達，見

https://dl.dropboxusercontent.com/u/19150457/In.pdf

當天得了答案，到今天我仍未「驗證」，慚愧。

有關複函數的積分，之前都找了舊片溫習一下：

Herbert 清楚地教授，不過仍未解答我的疑問，有機會再研究了。

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